Prova mais simples do Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras afirma que a² + b² = c² em um triângulo retângulo, em que c é a hipotenusa e a e b são os catetos.

Tomando o triângulo abaixo, pode-se provar que o Teorema de Pitágoras é válido da seguinte forma.





Os ângulos marcados (alfa e beta) são iguais, então os triângulos formados pelos lados abc, xha e h(c - x)b são proporcionais.

Fazendo as semelhanças entre os triângulos, obtém-se que x/h = h/(c - x) e a/b = x/h.

Isolando h na segunda igualdade, obtém-se h = bx/a, substituindo este resultado na primeira igualdade:

bx/(a(c - x)) = ax/(bx)
bx/(a(c - x)) = a/b
b²x = a²(c - x)
x(a² + b²) = a²c
x = a²c/(a² + b²)

Substituindo x em h = bx/a:

h = a²bc/(a(a² + b²))
h = abc/(a² + b²)

A área do triângulo abc pode ser obtida de duas formas diretas: A = ab/2 ou A = hc/2, então ab/2 = hc/2, substituindo o valor encontrado para h:

ab = abc²/(a² + b²)

a² + b² = c²

Esta demonstração é a mais simples que conheço, porém existem muitas outras.