Somatório de séries infinitas

Em 2003 (quando eu estava estudando para o vestibular), eu aprendi um monte de coisas interessantes. Na semana passada teve prova de processos estocásticos (probabilidade e estatística temporais) e durante os estudos, resolvendo listas de exercícios, lembrei-me de algo que pode ajudar muita gente.

A técnica serve para resolver somas de séries infinitas.

A idéia é a seguinte:

depois manipula-se a série.

Normalmente, isolando-se o 1o termo e pondo algum fator em evidência nos termos restantes. De modo que obtém-se novamente a série inicial.Então, obtém-se a seguinte equação:
Como exemplo (o mais óbvio que existe), usaremos uma série geométrica:

Reforço que esta técnica pode ser usada em diversas situações, basta ter um pouco de "malícia matemática".